Kalkulus Appletek

Lagrange maradéktag

Amikor egy f függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy n-ed fokú Taylor polinommal, melynek a centruma c, akkor lesz egy bizonyos hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt (kivéve, ha f egy n-ed fokú, vagy annál kisebb fokú polinom). Ezt a hibát ki tudjuk fejezni a Lagrange maradéktaggal (vagy Lagrange hibahatárral). A maradéktag: , ahol M az f függvény (n + 1)-edik deriváltjának a maximális abszolút értéke az x és c közötti intervallumban. A hiba abszolút értéke az R maradéktagnál kisebb. Megjegyezzük, hogy R függ attól, hogy x milyen messze van c-től, milyen nagy n, és az f függvény jellemzőitől.

Próbálja ki a következőt!

1. Az applet az f (x) = e^x függvényt és az x = 1 helyen az n = 3, c = 0 adatokkal jellemezhető Taylor polinomot mutatja. A Lagrange maradéktag megadásához tudnunk kell az f negyedik deriváltjának a maximális abszolút értékét a 0 és 1 közötti intervallumon. Mivel az e^x függvény negyedik deriváltja is e^x, és ez a függvény monoton növekvő, a maximum értéke az x = 1-ben éppen e. Így . Megjegyezük, hogy a tényleges hiba kb. 0.052. A Lagrange maragéktag a hibának egy felső határa, nem a tényleges hiba. Csak azt mutatja meg, hogy a hiba biztosan kisebb, mint a Lagrange maradéktag.

This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.