Integrálfüggvények
Az eddigiekben megvizsgáltuk az "antiderivált" függvényt a meredekség függvényől kiindulva (azaz egy integrál integrandusa megadja az antiderivált meredekségét). Ugyancsk megvizsgáltuk az "antiderivált" fogalmát a Riemann összeg oldaláról. A határozott integrálnak van egy konkrét értéke, ha mindkét integrációs határ konstans. Amennyiben az egyik határ függ a változótól a határozott interál ennek a változónak a függvényévé válik, ahol ennek az új függvénynek az értéke a változó egy adott értéke mellett, a határozott integrál értéke lesz, amit úgy kapunk, hogy a határokon lévő értékeket behelyettesítjük. Például: 
mutatja a határozott integrál kiszámításának módját, a kalkulus alaptételének alkalmazásával konstas határok esetén, konstans eredménnyel. Az | jelölés mutatja, hogy a vonal bal oldalán lévő kifjezésbe kell behelyettesíteni a felső határt, maj a kapott értékből ki kell vonni a behelyettesített alsó határral kapott értéket. De ha a határozott integrálnak a felső határán egy változó van: 
, akkor használva a kalkulus alaptételét, egy függvényt kapunk eredményül. Tehát úgy tekinthetünk az "aniderivált"-ra , mint egy olyan függvényre, amely egy adott ponttól kezdve megadja a görbe alatti területet. Lehetséges, hogy felteszi a kérdést, "Hová tűnt a C?" Vegyük első példának az x² + C "antiderivált" függvényt, ekkor ezt kapjuk: 
melyben látható, hogy a C kiesik. Mindig ez történik, tehát nem kell foglalkoznunk C-vel, amikor kiszámoljuk a határozott integrált a kalkulus alaptételének alkalmazásával. Talán azt is megkérdezi, "Miért t az integrációs változó?" Azért, mert az integrációs változó (azaz t a dt-ben) csak az integrandussal van öszefüggésben és nincs más kifejezéssel kapcsolatban, amit az intgrálásnál használunk. Eben az esetben azért használtunk más változókat, hogy világossá tegyük, hogy t és x különbözőek. Amennyiben a következőképpen írjuk le az integrált 
a fenti leírás helyett, ez ugyanazt jelenti, mert x az integrandusban és a dx-ben, valamint x a felső határon különböző x-ek. Mivel azonban ez zavaró, ezért általában jobb egy másik változót használni az integrandusban és a felső határon, amikor tisztázódott, hogy az integrál egy felsőhatár függvény lesz.
Próbálja ki a következőket!
- Ez az applet a grafikon bal oldalán az f ' (x) = 2 integrandust mutatja, ami konstans függvény. A grafikon jobb oldalán az "antiderivált":
. Tekintsünk úgy a jobb oldali grafikonra (az "antiderivált"-ra), mint amely a bal oldali grafikon (az integrandus) görbéje alatti területének változását mutatja 0-tól x-ig. Mozgassa x csúszkáját jobbra és figyelje a zöld területet a bal oldali görbe alatt! Vegyük észre, hogy mivel a bal oldali függvény konstans a terület lineárian változik x függvényeként, azaz az "antiderivált" egyenes! Amennyiben az x csúszkát úgy mozgatja, hogy x < 0, akkor a terület negatív lesz, és ez a terület piros (ebben az appletban a pozitív terület zöld a negatív terület piros). Mozgassa C csúszkáját! Mi történik a grafikonnal? Az integrálfüggvény zérus lesz amikor x = 0, így megadni C speciális értékét olyan mintha kiszámolnánk f (0) értékét és ezt adnánk hozzá az integrálfüggvényhez.
- Nézzük a 2. példát a legördülő listáról! Itt az integrandus -1 -től 1-ig változtatja értékét az x = 0-ban. Mozgassa x csúszkáját és figyelje meg, hogy a bal oldalon a terület és az integrálfüggvény értéke hogyan változik! Az "antiderivált" a jobb oldalon -1 -től 1 -ig változik x = 0 -ban, mivel az integrandus görbe alatti területe poztívból (az x tengely felett) negatívba (az x tengely alatt) vált. Ha mozgatja az x csúszkát úgy, hogy x < 0, akkor a terület még mindig pozitív (zöld); miért?
- Nézzük a 3. példát a legördülő listáról! Ebben a példában az integrandus függvény az 1 konstans értékről változik egy lefelé lejtő egyenes mentén az x = 1-től. Mozgassa az x csúszkát és figyelje mi történik a területtel az integrandust ábrázoló grafikonon! A terület elkezd nőni konstans meredekséggel, majd elkezd csökkenni és a terüet zérus lesz és átcsap negatívba. Hol fog ez bekövetkezni a jobb oldali grafikonon.
- Nézzük a 4. példát, amelyben az integrandus két egyenesből épül föl. Mozgassa az x csúszkáját és figyelje meg a görbe alatti területet (a bal oldali grafikonon) amely megadja az "antiderivált" értékét az adott pontban (jobb oldal).
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.