Kalkulus Appletek

Alternáló sorok és az abszolút konvergencia

A alternáló sorokra vonatkozó kritérium akkor használható, ha a sor tagjai alternálnak. Tegyük fel, hogy adott a következő sor ahol a_n alternál, felváltva pozitív és negatív. Ha |a_n+1| < |a_n| (azaz, a sor tagjai egyre kisebb abszolútértékűek) és ha , akkor a sor konvergens. Ha a Σ | a_n | sor konvergens, akkor a Σ a_n sor is konvergens lesz és azt mondjuk abszolút konvergens. Ha Σ | a_n | divergens, de Σ a_n konvergens, akkor azt mondjuk Σ a_n feltételesen konverges.

Próbálja ki a következőket!

1. Az applet a következő sort mutatja , ezt szokták alternáló harmonikus sornak nevezni, mivel a tagjai alternálnak: . A harmonikus sor divergens, de esetleg a negatív előjelek miatt megáltozik ez a tulajdonság. Az alternáló sorokra vonatkozó kritérium megköveteli a_n váltakozó előjelét, valamint, hogy a tagok abszolútértéke egyre kisebb és zérushoz tart, amint n tart végtelenhez, ami jelen példánál teljesül. Így ez a sor konvergens, mégpedig feltételesen konvergens. Miközben a harmonikus sor divergens, az alternáló harmoikus sorban van elég negatív szám ahhoz, hogy ellensúlyozza a növekedést konvergenciát előidézve.

This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.