Kalkulus Appletek

Területszámítás szeleteléssel

Az előző részekben láttuk, hogy az integrálszámítást tudjuk görbe alaltti területszámításra is használni. Néhány alkalmazásban szükségünk lenne megadni nem előjelezett területet. Például, ha a görbe alaltti terület egy tényleges fizikai alakzatot (például egy darab fát) reprezentál, és azt szeretnénk tudni, hogy mennyi festéket kell vásárolni lefestéséhez, tehát szeretnénk tudni a teljes területet. Ebben az alkalmazásban minden területet pozitívnak tekintünk. Amennyibn két függvény által közbezárt területet szeretnénk megadni a-tól b-ig, akkor a következőt kell kiszámolnunk: . Amennyiben numerikus módszerrel határozzok meg, akkor az integtált úgy kell kiszámolni, hogy az integrandus abszolúértékével számolunk. Más esetben, például, ha két függvény görbéje metszi egymást az a-tól b-ig terjedő intervallumon, akkor könnyebb kiszámolni az integrált, ha az intervallumot két olyan részre vágjuk, ahol nem keresztezik egymást a görbék, és így külön számoljuk ki az integrálokat.

Próbálja ki a következőket!

1. Az applet bevezetőként egy egyenest ábrázol és a területet (sárga színnel) az x tengely és a görbe között a 0-tól 2-ig terjedő intervallumon. Ezen területre gondolhatunk úgy, mint a Riemann összegek határértékére, ahol az összeg minden egyes szelete egy függőleges téglalap. Egy ilyen téglalap szürke színben látható a grafikonon. Tudja mozgatni az x csúszkát és a téglalap is mozog az inervallumon. A téglalap pici szélességét dx jelöli és a magaságát f (x) (mivel a téglalap az x tengelytől a görbéig tart), így a területe éppen f (x)dx. Ha összeadjuk ezeket a téglalapokat a 0-tól 2-ig terjedő intervallumon és vesszük a hatátértékét, a szélességgel tartva 0-hoz, megkapjuk az integrált , amelyet kiszámolva megkapjuk a területre a 2-t. Az integrandusban a 0 reprezentálja az alsó görbét, amely ebben a példában éppen az x tengely.
   
   
2. Nézzük a 2. példát a lenyitható menüből, amely az előzőhöz képest egy kicsit más egyenest mutat! Vegye észre, hogy a terület még mindig pozitív, mivel figyeltünk arra, hogy a terület előjelmentes legyen! Ezt elérhetjük a vagy integrálásával. A magam részéről jobban szeretem az első módszert, azaz a "felső" görbe mínusz a "alsó" görbe, szemben az abszolút érték használatával (habár az integrál numerikus, számológéppel való kiszámolásához inkább az abszolútértékes formulát használnám).
   
   
3. Nézzük a 3. példát, amely egy harmadfokú függvényt mutat a [-2,2] intervalumon! Vegyük észre, hogy a terület pozitív, 0 helyett! Ugyancsak látható, hogy a pontos terület 8, de a kerekítési hiba miatt egy picit kevesebb. Mozgassa az a és b csúszkákat, hogy különböző határokat is megvizsgálhasson!
   
   
4. Nézzük a 4. példát! Ez a példa két függvény, prabola és egyenes közötti területet ábrázolja. Figyelje meg, hogy a vizsgált intervallumban az egyenes halad "felül", így az integrál (abszolút érték nélkül) ! Gondolkodjon el a szürke téglalap magasságán! A teteje f (x) = x-en van az alja a g(x) = x²-en van, vagyis az integrandus reprezentálja a téglalap magasságát.
   
   
5. Nézzük az 5. példát! Ez az előző görbék közötti területet mutatja, de most a parabola van felül, mivel az intervallum megváltozott. Az integrált tehát így írhatjuk: .
   
   
6. Nézzük a 6. példát! Ez a példa egy parabola és egy vízszintes egyenes(nem az x tengely) közötti területet mutatja. Itt most az egyenes van "felül" így az integrál .
   
   
7. Nézzük a 7. példát! Most megismételjük az előző példát, de most vízszintes szeletelést alkalmazunk. Tekintsünk minden szeletet olyan téglalalpnak, amelynek a magassága dy és a hossza f (y) és g(y) közötti különbség! Az integrál . Mozgasa az y csúszkát, hogy a téglalap mozogjon! Vegye észre, hogy az előző példában y = x² így az inverz azaz ugyanaz a görbe (ha x és y pozitív)!
   
   
8. Nézzük a 8. példát! Itt újta kipróbálhatja saját függvényét, beírhatja f(x)-et és g(x)-t , valamint a, és b értékeit változtathatja. Amennyiben vízszintes szeleteket szeretne kattintson az "inverse"-re és definiálja újra függvényét, mint y függvénye!

This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.