Átlagérték
Ha véges darabszámú számadat átlagát szeretnénk meghatározni, akkor azokat egyszerűen össze kell adni, majd a kapott összeget elosztani az összeadandók darabszámával. Hogyan lehetne magadni az átlagát egy intervallumhoz tartozó folytonos fügvény értékeinek? A nehézséget az okozza, hogy végtelen sok számot kell összeadni és utána végtelennel kellene osztani. Közelítés lehet, ha az intervallumot n részre osztjuk, majd vesszük a bal vagy a jobb oldali értékeit a függvénynek, ezeket összeadjuk és elosztjuk n-nel. Ha vesszük a határértékét n tart végtelen esetén, akkor megkapjuk az átlagértéket. Egy f függvény átlagértékének a képlete az a -tól b-ig tartó intervallumra nézve: átlag (average) = 
. Átrendezve a formulát: 
. Tekintsük (b - a)-t mint egy téglalap szélessége és az átlag-ot, mint annak a magassága. Ekkor egy fügvénynek egy adott intervallumhoz tartozó átlagértéke egyenlő egy olyan téglalap magasságával, melynek az szélssége ugyanakkora, mint a függvény intervalluma.
Próbálja ki a következőket!
- A applet az y = x egyenes grafikonját mutatja. A görbe alatti terület 0 és 2 között sárgára van színezve. Könnyű kiszámolni a geometria segítségével, hogy a terület 2. A rózsaszín téglalapnak (narancssárga ott ahol fedésben van a sárga és a rózsaszín) ugyanakkora a szélessége, mint az intervallum hossza, a téglalap területe pedig ugyanakkora, mint a sárga terület, azaz 2.
- Nézzük a 2. példát a legördülő listáról! A grafikon a parabola alatti terület mutatja 0 és a 2 között. Mi az átlagérték? Megpróbálhatja kitalálni a kicsi fekete négyet mozgatásával (klikkejen a fekete négyzetre, tartsa rajta az egeret majd mozgassa lefelé és felfelé). Amikor úgy gondolja, hogy egy ugyanakkora területű téglalapot kapott, mint a görbe alatti sárga terület, klikkeljen a Show Answer gombra, és nézze meg a helyes választ!
- Nézzünk más példákat a legördülő listáról! Mindgyiknél mozgassa a fekete négyzetet addig amíg a sárga területtel azonos területet kap! Ezek után a téglalap magassága lesz az átlagérték. A helyes válasz megjelenítéséhez kattintson a Show Answer gombra!
- Beírhatja saját fügvényét, az intervallum a és b végpontjait, majd használja a control panel-t a tengelyek igazítására (az egérrel való zoomolás nincs beépítve ebbe az appletbe, nehogy véletlenül zoomoljon miközben a fekete négyzetet mozgatja).
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.