Függvénygörbe vizsgálata: globális szélsőérték
Ebben az appletben a globális szélsőértéket járjuk körül.
A dolgok ugyanúgy mennek, mint a lokális szélsőérték esetében, csak épp meg kell találni a legnagyobb/legkisebb szélsőértéket,
továbbá ellenőrizni kell a végpontokat.
Próbálja ki a következőket:
- Az első példa egy közönséges parabola. Mi a globális minimuma? A válaszhoz meg kell keresni az összes lokális minimumhelyet és
meg kell nézni, melyeikhez tartozik a legkisebb függvényérték. Ezt a grafikonra pillantva könnyű eldönteni,
de megadhatja a választ úgy is, hogy deriválja a függvényt, a deriváltat egyenlővé teszi nullával és megoldja az egyenletet.
Ezután ellenőriznie kell, hogy mely pontok a minimumhelyek, ki kell számolnia a hozzájuk tartozó értékeket, s végül ki kell választania a legkisebbet.
Példánkban a globális minimumhely az x= 0 pont, és a minimumérték f (0) = 0.
- Válassza ki a második példát a legördülő menüből. Ez egy másik függvény, több lokális szélsőértékkel.
Most három lokális szélsőértékünk van, két minimum és egy maximum.
Ha deriválja a függvényt, a deriváltat egyenlővé teszi nullával és megoldja az egyenletet mindhármat megtalálja.
Ezután ellenőriznie kell, melyikük minimum, melyikük maximum
(akár úgy, hogy megnézi a második deriváltat, akár úgy, hogy megnézi, mit csinál az első derivált a pont bal- és jobboldalán).
Ha a maximumot kirostálta, helyettesítse be a lokális minimumhely x értékét a függvény képletébe, hogy megtudja, melyikük adja a kisebb értéket.
Jelen esetben a globális minimumhely x = 2, a minimumérték f (2) = -8/3.
- Válassza ki a harmadik példát a legördülő menüből. Ez az előbbi függvény, csak a [-2,1] zárt intervallumra leszűkítve.
Most csupán két lokális szélsőérték van és csak egy lokális minimum.
De mivel az intervallum zárt, ezért ellenőrizni kell a végpontokat is, hiszen azok adhatnak a lokális minimumnál kisebb értékeket.
Jelen esetben a jobboldali végpont kisebb értéket ad, ezért ez a globális minimumhely.
- Válassza ki a negyedik példát a legördülő menüből. Ez ugyanaz a példa, de nyílt intervallummal
(azaz a (-2,1) intervallummal). Mi a globális minimumhely? Világos, hogy a függvénynek vannak az x = -1 lokális minimumhelyen felvett értéknél kisebb értékei,
de az x = 1 nem lehet a globális minimumhely, mivel ez a pont nem része az értelmezési tartománynak.
Mi van a "közvetlenül mellette lévő" ponttal? Sajnálatos módon nincsen ilyen pont:
bármilyen x = 1-hez közel eső pontot választ is ki, mindig van ennél még közelebbi!
Így ebben a példában nem létezik globális minimumhely, amint globális maximumhely sem.
Figyelje meg, hogy ha az intervallum (-2,0) volna, akkor az x = -1 helyen a lokális minimum
globális minimummá válna, mivel most az itteni függvényérték kisebb, mint a végpontokhoz közeli pontokban.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.