Függvénygörbe vizsgálata: speciális esetek
Ebben az appletben az előző oldalon tárgyalt definíciók és fogalmak néhány speciális esetével foglalkozunk.
Próbálja ki a következőket:
- Kritikus pontok ott vannak, ahol az első derivált nulla vagy meghatározatlan.
Ez a példa néhány olyan helyet mutat, amely lehet kritikus pont, de lehet hogy nem az. Vajon melyik melyik?
Az x = 0 pontban az abszolútérték deriváltja meghatározatlan, vagyis ez kritikus pont.
Az x = 2 pontban a függvénynek szakadása van, így ez is kritikus pont.
Az x = 3 pontban a függvényértéket egy másik értékre változtattuk, így ez is kritikus pont.
Az x = 4 pont hézagpont, ezért ez nem kritikus pont, mivel ez a pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának.
Hasonlóan belátható, hogy a függőleges aszimptoták helyei sem kritikus pontok,
dacára annak, hogy az első derivált meghatározatlan ezeken a helyeken, mivel a függőleges aszimptoták helye
nem eleme a függvény értelmezési tartományának
(legalábbis általánosságban ez a helyzet; ugyanakkor, csak hogy bonyolultabbá tegyük az életünket, előállíthatunk egy olyan
szakaszonként definiált függvényt, mely erre a helyre is megad egy függvénypontot).
- Az imént vizsgált kritikus pontok között van-e lokális minimum vagy maximum? Az x = 0 pont
olyan kritikus pont, ahol az első derivált meghatározatlan. Ez lokális minimumhely, mivel a függvény ettől balra csökken, jobbra pedig nő.
Figyelje meg azt is, hogy az első derivált balra negatív, jobbra pozitív (az x csúszkát el kell tolnia,
hogy a középső grafikonon látható zöld érintő elmozduljon és a derivált grafikonja láthatóvá váljon),
vagyis az első derivált előjele negatívról pozitívra változik,
ami azt jelenti, hogy ez egy lokális minimum. Itt a második derivált meghatározatlan az x = 0 pontban,
így nem segít annak megállapításában, hogy a pont minimumhely vagy maximumhely-e. Mi a helyzet az x = 2 ponttal, ahol a függvénynek szakadása van?
A függvényérték itt kisebb, mint a 2 környezetében található más x értékekre,
így ez lokális minimumhely, jóllehet most az első derivált nem ad semmilyen útmutatást.
Hasonlóan, az x = 3 lebegőpont lokális maximumhely, de az első derivált most sem ad semmilyen útmutatást.
Általánosságban a kalkulus a differenciálható függvények esetében segít a lokális szélsőértékek megtalálásában,
a nem folytonos függvényeknél hasznavehetetlennek bizonyulhat.
- Válassza ki a második példát a legördülő menüből! Ez egy közönséges köbfüggvény.
Figyelje meg, hogy az x = 0 kritikus pont, mivel a derivált itt nulla.
Vajon ez lokális minimumhely vagy maximumhely? Nyilvánvalóan egyik sem. De miért nem az?
Azért, mivel az első derivált előjele nem változik. A kritikus ponttól mind jobbra, mind balra pozitív, ami azt jelenti, hogy
ez nem lokális szélsőértékhely. Figyelje meg, hogy a második derivált értéke nulla és előjelet vált,
vagyis a pont inflexiós pont.
- Válassza ki a harmadik példát! Ez egy olyan parabolát mutat, amelybe beleillesztettünk egy hosszabb egyenes szakaszt. Hol van a minimuma? Mozgassa az x csúszkát, hogy benyomást szerezz arról, mi is történik itt.
Miután a lokális minimum definíciója a ≤ kritériumot használja, ezért az egész egyenes szakasz lokális minimumhelyek végtelen sokaságát foglalja magában.
Hol növekvő a függvény? Hol csökkenő? Mivel ezek definíciói a < és > kritériumokat használják, ezért
a nulla deriváltértékű egyenes szakasznak csak a kiindulópontja, illetve a végpontja számít bele a szóban forgó intervallumokba.
Vagyis a függvény növekszik a [3,∞) intervallumon, és csökken a (-∞,1] intervallumon.
Figyelje meg, hogy szögletes zárójellel jelöljük azt, hogy x = 3 pont hozzátartozik a növekvő intervallumhoz, illetve
az x = 1 pont hozzátartozik a csökkenő intervallumhoz.
Figyelje meg azt is, hogy a végtelent mindig nyílt intervallumként értelmezzük, amit közönséges zárójellel jelölünk
(hiszen az x ≤ ∞ jelölésnek nincs értelme, miután a végtelen nem egy szám, amivel x egyenlő lehetne, csupán közelíthet hozzá).
- Mi a helyzet a függvény konvexitásával? Az egyenes szakasz se nem konvex, se nem konkáv.
A növekvő/csökkenő intervallumoktól eltérően a konvex/konkáv intervallumok végpontjai nem zártak.
Így a függvényünk konvex a (-∞,1), valamint a (3,∞) intervallumon. Konstans a [1,3] zárt intervallumon.
- Válassza ki a negyedik példát, mely egy köbgyök függvényt mutat!
Van-e inflexiós pontja? A derivált meghatározatlan az x = 0 pontban,
de a valóságban van érintője itt a görbének (noha a szoftver nem rajzolja be, mivel deriválás segítségével határozza meg az érintő meredekségét,
a derivált viszont meghatározatlan ebben a pontban). Mivel létezik érintő, a második derivált vagy nulla, vagy meghatározatlan
(jelen esetben az utóbbi), és a második derivált előjelet vált, tehát inflexiós pont van az x = 0 helyen.
- Válassza ki az ötödik példát, mely egy negyedfokú hatványfüggvényt mutat!
Van-e inflexiós pontja az x = 0 helyen? A második derivált nulla, de nem vált előjelet!
Ezért itt nincs inflexiós pont.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.