Kalkulus appletek

A derivált függvény

Definiáltuk, hogy mit jelent a derivált egy pontban. Ha vesszük a függvény minden pontjában a pontbeli deriváltat, ezzel voltaképpen egy új függvényt kapunk. Ez a derivált függvény az eredeti függvény bármely pontjához tartozó derivált értékét fogja feltüntetni. A derivált függvényt így definiáljuk:

A definíció egy függvényt ad meg. Ha a derivált függvény értékét kiszámoljuk egy adott x pontban, egy olyan számot kapunk, mely maga a pontbeli derivált lesz (azaz az f változásának mértéke, vagyis az f grafikonjának a meredeksége). Ha y = f (x), a derivált függvényt így is jelölhetjük: . Ez a különbségi hányadosra emlékeztet, hiszen azt fejezi ki, hogy "mekkora y változás esik az x változásra." Egy harmadik jelölés a kifejezéssel jelöli a deriválás műveletét: f (x). Ez a művelet különbözik a megszokott + és - algebrai műveletektől, melyek számokra vonatkoznak és számokat adnak eredményül. A művelet függvényekre vonatkozik és új függvényeket (derivált függvényeket) ad eredményül. Amikor kiszámoljuk a derivált függvény értékét egy adott pontban, például az x = 2 pontban, használjuk az f ' (2) vagy jelöléseket is.

Próbálja ki a következőket:

1. Az első applet egy parabolát mutat a baloldalon, és a parabola derivált függvényét a jobboldalon. Az applet alján található egy csúszka, mellyel beállíthatja az x koordinátát, melynek értéke megjelenik a csúszka melletti mezőben. A baloldali grafikonon van egy piros egyenes, mely az x koordinátához tartozó érintőt ábrázolja. Mozgassa a csúszkát és figyelje meg, hogy az érintő úgy mozog, hogy mindig a csúszkával beállított x koordinátához tartozó érintőt mutatja! A függvénygrafikon bal alsó sarkában lévő mező az f (x) függvényértékeket mutatja.
   
   
2. Most nézzük meg a jobboldali grafikont, mely az f ' (x) derivált függvényt mutatja! Először is nézze meg a piros érintőt: mennyi a meredeksége? A meredekségnek az adott x koordinátához tartozó deriváltnak kell lennie, vagyis ugyanannak az értéknek, mint amit a derivált függvény ezen az x koordinátájú helyen felvesz. A meredekséget a derivált grafikonjának bal alsó sarkában lévő kijelző mutatja. A derivált függvény grafikonjának a pontját egy piros célkereszt is jelzi.
   
   
3. Kattintson rá az "x=" mezőre, és írjon az ott lévő érték helyére 0-t! Most húzza el a csúszkát jobbra! Figyelje meg, hogy ahogyan a piros érintő meredeksége növekszik, úgy növekszik a derivált függvényértéke is! Most húzza el a csúszkát balra a nullán túl! Figyelje meg, hogy ahogyan a piros érintő meredeksége egyre negatívabb, úgy lesznek egyre kisebb negatív számok a derivált függvényértékek! A derivált függvény bármely adott x pontban az f változásának mértékét, vagy ami ugyanaz, az f grafikonjának a meredekségét fejezi ki.
   
   
4. Amikor a derivált pozitív, a függvény növekszik. Amikor a derivált negatív, a függvény csökken. A derivált így az eredeti függvényről nyújt információt. Mi van akkor, ha a derivált 0? Hol lát ilyet a példában? Miért 0 a derivált ebben a pontban?
   
   
5. Figyelje meg azt is, hogy a derivált függvény egy egyenesnek tűnik! Ön szerint mindig ez a helyzet, vagy csupán a parabola sajátosságaiból következik ez?
   
   
6. Válassza ki a második példát a legördülő menüből, mely egy szinuszfüggvény! Hogyan néz ki a derivált függvénye? Húzza el a csúszkát, figyelje a piros érintő meredekségét, és nézze meg, hogy tud-e valamilyen kapcsolatot teremteni az érintő meredeksége és a derivált függvényértéke között! Van olyan pont, ahol a derivált 0? Mi jellemzi ezeket a pontokat?
   
   
7. Válassza ki a harmadik példát, mely egy exponenciális függvényt mutat! Hogyan néz ki a derivált függvénye? Húzza el a csúszkát, figyelje a piros érintő meredekségét, és nézze meg, hogy tud-e valamilyen kapcsolatot teremteni az érintő meredeksége és a derivált függvényértéke között! Figyelje meg, hogy az exponenciális függvénynél a derivált függvény sehol nem negatív (más szóval a jobboldali grafikon sohasem megy az x-tengely alá)! Miért? Mit jelent az exponenciális függvény grafikonjára nézve az, hogy a derivált sehol nem negatív?
   
   
8. Válassza ki a negyedik példát, mely egy hiperbolát mutat! Hogyan néz ki a derivált függvénye? Húzza el a csúszkát, figyelje a piros érintő meredekségét, és nézze meg, hogy tud-e valamilyen kapcsolatot teremteni az érintő meredeksége és a derivált függvényértéke között! Figyelje meg, hogy ennél a hiperbolánál a derivált függvény sehol sem pozitív (más szóval a jobboldali grafikon sohasem emelkedik az x-tengely fölé)! Miért? Mit jelent a hiperbola grafikonjára nézve az, hogy a derivált sehol sem pozitív?
   
   
9. Mi történik a hiperbolával az x = 0 pontban? Miért meghatározatlan a derivált? Mennyi az érintő meredeksége (és van itt érintő)?
   
   
10. Ön is megadhat tetszőleges függvényt, a "f(x)=" mezőbe beírva a képletét, hogy megvizsgálja, hogyan fest a deriváltja.

Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.