A derivált becslése táblázattal
Az imént a derivált függvényt a függvénygörbe szempontjából vizsgáltuk.
Vessünk most egy pillantást arra, hogyan közelíthetünk a deriválthoz értéktáblázat használatával.
Próbálja ki a következőket:
- Az applet egy olyan táblázatot mutat, mely kiragadott függvényértékeket tartalmaz.
Az első sor kiválasztott x értékeket tartalmaz, míg a második sor feltünteti a megfelelő
f (x) értékeket. A harmadik sorban a derivált becsült értékeit találjuk.
Ez utóbbi értékeket az x értékpárokból és a hozzájuk tartozó y = f (x)
értékpárokból számoljuk, mindegyik becslés tehát a
különbségi hányadosból ered. Megjegyzendő, hogy
ezzel csupán becsüljük a deriváltat, hiszen egy adott intervallumra eső átlagos változást számolunk ki,
nem pedig a pillanatnyi változást. De mivel csak ezek a kiválasztott x és f (x) értékek állnak a rendelkezésünkre,
ezért ez a legtöbb, amit a táblázat adataiból kihozhatunk.
Például az első deriváltbecslést így számoljuk ki: 
, a következő
becsült érték pedig 
lesz. Ki tud számolni további deriváltbecsléseket a táblázat adataiból?
- Válassza ki a második példát a legördülő menüből! Ez ugyanaz a függvény, csak most
az x pontok távolabb esnek egymástól. A deriváltat továbbra is a különbségi hányadossal becsüljük,
csak épp ebben a példában a nevező nem 1, hanem 2 lesz.
- Válassza ki a harmadik példát, egy lineáris függvényt! Számoljon ki egy-két deriváltbecslést
és ellenőrizze, hogy megegyeznek-e a táblázatban feltüntetett értékekkel! Mit vesz észre a deriválttal kapcsolatban?
- Válassza ki a negyedik példát, egy konstans függvényt! Miért 0 mindig a derivált értéke?
- Válassza ki az ötödik példát, egy exponenciális függvényt! Lát-e valami összefüggést a derivált és
a függvényérték között? Később még visszatérünk erre.
- Válassza ki a hatodik példát, egy hiperbolát! Miért negatívak a derivált becsült értékei?
- Válassza ki a hetedik példát, egy szinuszgörbét!
Van valami rendszer abban, ahogy a derivált értékek változnak?
A derivált értékeknek van-e felső és alsó korlátja?
- Ön is összeállíthat példákat, tetszőleges függvényképletet beírva a
"f(x)=" mezőbe. Továbbá kiválaszthatja az x kezdőértéket és
az x értékek közti lépéseket.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.