Kalkulus appletek

Differenciálhatóság

Az f függvényt differenciálhatónak mondjuk az a helyen, ha a különbségi hányadosnak létezik határértéke (vagyis ha létezik). A jelen appletben azt vizsgáljuk meg, hogy mit is jelent ez közelebbről.

Próbálja ki a következőket:

1. Az applet először egy szakadásos egyenest mutat. Mi a függvény deriváltja az x = 1 pontban? Húzza el lassan a zöld pöttyöt a piros pötty felé! Hogyan változik a zöld szelő meredeksége? Miért? Most húzza a zöld pöttyöt a piros pötty baloldalára, majd lassan közelítsen vele a piros pötty felé! Most hogyan változik a szelő meredeksége? Amikor a zöld pöttyöt jobbról húzzuk a piros pötty felé, akkor voltaképpen egy nullánál nagyobb h értékből indulunk ki és azt egyre kisebbre vesszük. Ha létezik ekkor határérték, azt jobboldali deriváltnak nevezzük és így definiáljuk: . A nulla melletti + jel mutatja, hogy jobboldali határértékről van szó. Hasonlóan, amikor a zöld pöttyöt balról húzzuk a piros pötty felé, akkor voltaképpen egy nullánál kisebb h értékből indulunk ki és azt egyre közelítjük nullához. Ha létezik ekkor határérték, azt baloldali derviáltnak nevezzük, és így definiáljuk: . Ebben a példában a függvényünknek létezik jobboldali deriváltja az x = 1 pontban és egyenlő 1-gyel (ennyi a jobboldali egyenes meredeksége). Ugyanakkor a baloldali derivált meghatározatlan, mivel végtelenhez tart, ha h nullához közelít. Így ez a függvény nem differenciálható az x = 1 helyen. Az elmondottak minden szakadásos függvényre érvényesek.
   
   
2. Válassza ki a második példát a legördülő menüből! Ez egy egyenes, melynek az egyik pontját áthelyeztük (oda, ahol a piros pötty van). Mennyi a függvény deriváltja az x = 1 pontban? Húzza lassan el a zöld pöttyöt a piros pötty felé! Hogyan változik a zöld szelő meredeksége? Most húzza a zöld pöttyöt a piros pötty baloldalára, majd lassan közelítsen vele a piros pötty felé! Hogyan változik a meredekség? Most sem baloldali, sem jobboldali derivált nem létezik (mindkettő végtelenbe tart), így a függvény nem differenciálható az x = 1 helyen.
   
   
3. Válassza ki a harmadik példát! Ez egy olyan egyenes, amelynek hézagpontja van. Mennyi a függvény deriváltja az x = 1 pontban? Ebben az esetben a függvény nincsen értelmezve az x = 1 pontban, így bizonyos értelemben nem "fair" a kérdés, hogy a függvény vajon differenciálható-e itt vagy sem. Egy függvényt nem tekintünk differenciálhatónak olyan bemenő értékeken, amelyek kívül esnek a függvény értelmezési tartományán.
   
   
4. Válassza ki a negyedik példát, mely egy függőleges aszimptotájú hiperbolát mutat! Mennyi a függvény deriváltja az x = 1 pontban? Az előző példához hasonlóan a függvény nincs definiálva az x = 1 pontban, ezért nem differenciálható itt. Ezek a példák azt illusztrálják, hogy egy függvény nem differenciálható olyan helyen, ahol nem vesz fel értéket, vagy nem folytonos.
   
   
5. Válassza ki az ötödik példát, mely az abszolútérték függvényt mutatja (az áttekinthetőség miatt eltoltuk jobbra fölfelé)! Mennyi a függvény deriváltja az x = 1 pontban? Most van függvényérték az x = 1 pontban és a függvény folytonos itt. Húzza el a zöld pöttyöt jobbról a piros pötty felé, majd tegye ugyanezt balról is! Hogyan változik a zöld szelő meredeksége a két esetben? Példánkban mind a baloldali, mind a jobboldali határérték létezik, ám különbözőek. Ilyen esetben nem létezik általános derivált (emlékezzen vissza, hogy általános határérték csak akkor létezett, ha a kétoldali határértékek léteztek és megegyeztek), ezért a függvény nem differenciálható az x = 1 pontban. A szegletek, amilyen ez is, ott jönnek létre, ahol a meredekség ugrásszerűen megváltozik, melynek köszönhetően a jobboldali és baloldali határértékek különbözőek lesznek.
   
   
6. Válassza ki a hatodik példát! Ez egy hatványfüggvény, melynek a grafikonja olyan, hogy a két íve éles csúcsban találkozik. A függvény folytonos az x = 0 pontban. Létezik derivált az x = 0 pontban? Húzza el a zöld pöttyöt a piros pötty felé először jobbról, majd balról, és figyelje a meredekséget! Ahogy a szegletek, úgy az éles csúcsok is ugrásszerűen megváltoztathatják a meredekséget, így a függvény nem differenciálható az x = 0 pontban.
   
   
7. Válassza ki a hetedik példát, egy köbgyök függvényt! Ez is folytonos az x = 0 pontban, de vajon differenciálható itt? Húzza el a zöld pöttyöt a piros pötty felé! A piros pötty közelében a meredekség láthatóan igen nagyra nő. Még közelebb férkőzhet a piros pöttyhöz, ha az x mezőbe írja be az értékeket, mondjuk 0.00001-et. A helyzet az, hogy a köbgyök függvénynek függőleges érintője van az x = 0 pontban, ami azt jelenti, hogy a deriváltban szereplő határérték meghatározatlan ebben a pontban. Így ez a függvény nem differenciálható az x = 0 pontban. Általánosságban elmondható, hogy egy függvény nem differenciálható olyan helyen, ahol függőleges érintője van.

Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.