Euler módszer
Hogyan tudjuk lerajzolni egy differenciálegyenlet megoldását? Ha meg tudja oldani a differenciálegyenletet egzaktul, akkor csak le kell rajolni egy partikuláris megoldást. Amennyiben a differenciálegyenlet nem oldható meg egzaktul, akkor numerikus módszerre van szükségünk a megoldás felvázolásához. Az Euler módszer az egyik lehetséges technika erre.
Próbálja ki a következőket!
- Ez az applet a meredekségmezőt mutatja a dy/dx = x egyenlethez. A megoldásgörbe felvázolásához az Euler módszer segítségével egy adott pontból induljunk ki (a magenta színű pont ebben a példában). Ki tudjuk számolni a meredekséget ebben a pontban (most éppen zérus), majd egy ilyen meredekségű egyenes mentén, úgy hogy az x tengelyen mindig ugyanannyit ugrunk (az appleten ezt deltaT-vel jelöljük és ebben a példában 1). Ahhoz, hogy ezt megnézze kattintson a Next gombra, amit az applet alsó során talál. A magenta színű egyenes darab (0,0)-tól (1,0)-ig látható. Az Euler módszer ezt követően megismétli az eljárást, azaz megkeresi a meredekséget ebben az új pontban (az új meredekség 1), majd húz egy vonalat ezzel a meredekséggel és az x mentén 1 egységgel haladva. Klikkeljen a Next gombra, hogy lássa a második vonaldarabot. Ezt a folyamatot újra ismételve, egy újabb meredekséggel újra megrajzol egy vonaldarabot. Ha a Start gombra klikkel láthatja az egész folyamatot egy animáción. Ebben 10 szegmens fog kirajzolódni, majd alaphelyzetbe áll vissza. Természetesen meg tudja állítani a Pause gombbal bármikor és újra tudja használni a Next és a Prev gombokat. Van még két további választási lehetőség, az egyik segítségével az animáció lejátszásának ismétlési módját tudja beállítani (ez alaphelyzetben Play Once, azaz egyszeri lejátszás értékre van állítva), a másik az animáció sebességét változtatja (alaphelyzetben Slow, azaz lassú lejátszásra van állítva).
Nyilván észlelte, hogy a magenta színű görbe, amit az Euler módszer segítségébal adtunk meg, eléggé durva közelítése a kék görbének, bár az alakját követi. Ezt az eltérést csökkenthetjük, ha változtatjuk deltaT értékét, azaz kisebb lépéseket kell választanunk x mentén. Változtassa deltaT-t, legyen 0.5 az 5 helyett, majd térjen vissza az animációhoz (vagy klikkeljen a Next gombra néhányszor)! Az Euler módszerrel rajzolt görbe most jobban közelíti az eredeti görbét. Próbálja ki úgy, hogy 0.1 -nek választja deltaT-t, de előtte klikkeljen a "Zoom In" gombra, hogy lássa a magenta görbét, mivel csak 10 szakaszt rajzolunk ki! Most a közelítő görbe sokkal közelebb van a kék megoldáshoz. Megjegyezzük, hogy a kék görbe ténylegesen egy másik algoritmus segítségével lett kirajzolva (negyedrendű Runge-Kutta módszerrel), tehát ez is egy közetítése a valódi görbének, de ez sokkal pontosabb, mint az Euler módszer. Az Euler módszert ki lehet terjeszteni a negatív x értékekre is, használva az eredei ötletet.
- Nézzük a 2. példát a legördülő listáról, amely a dy/dx = y sin(x) egyenlet megoldásait mutatja! Kattintson a Next gombra 10-szer vagy klikkeljen a Start gombra, hogy kirajzoltassa az Euler módszerrel kapott görbét! Vegye észre, hogy amikor a lépésköz 1, és amikor az Euler görbe közeledik az x tengelyhez, ahol a meredekség nagyon kicsivé válik nem jön vissza a görbe, ott "ragad"! Változtassa deltaT értékét 0.5-re és figyelje, hogy most a görbe nem fog eltérni, hanem visszafordul és követi a görbét. Az egyik nehézség a numerikus módszereknél, hogy időnként beragadnak bizonyos értéknél, amikor a lépésköz mérete túl nagy. Látható, hogy amennyiben lekicsinyíti a grafikont a kék görbe hirtelen véget ér; ez az ábrázoláshoz használt algoritmus következménye.
- Nézzük a 3. példát, amely a dy/dx =1/ y egyenlet megoldásait mutatja. Később fogjuk megoldani ezt az egyenletet, amelynek a megoldáshalmaza x = y²/2 + C, ezek a megoldások jobbra nyíló parabolák, melyeknek a tengelye az x tengely (azaz ezek nem függvények). Kattintson a Next gombra és figyelje mi történik! A kezdőpont közelében a meredekség elég nagy, így az Euler görbe túl gyorsan eltávolodik. Változtassa a lépésközt 0.5 -re, látunk javulást, de még mindig van probléma. Hasonlóan a 2. példához, ahol a meredekség nagyon kicsi volt, itt a nagy meredekség okoz problémát az algoritmus számára. Biztosan látja, hogy a kék görbe nem egészen parabolának néz ki. Ezt a kérdést a következő példában megnézzük.
- Nézzük a 4. példát, amely a dy/dx =-1/ y egyenlet megoldásait mutatja! A megoldások bal felől nyitott parabolák lesznek. Nyilvánvaló, hogy a kék görbével tényleg probléma van! Klikkeljen a Next gombra, hogy az első Euler szakaszt megnézze. Mivel a meredekség a kezdőpontban negatív az első vonal lefelé megy. Kattintson újra a Next gombra és láthatja a problémát. A meredekség pozitív, tehát a második vonal visszafordul felfelé, miközben a valódi görbe tovább megy lefelé balra. A probléma az Euler módszer x tengely menti lépései miatt van a függvény ábrázolásakor. Ebben a példában a megoldás nem függvény, ezért a numerikus módszer összezavarodik. Kattintson a Next gombra néhányszor, hogy lássa a görbe hogyan ugrál fel és le minden alkalommal, amikor keresztezi az x tengelyt. Ez az oka a csipkézett görbének, láttuk ezt néhány differenciálegyenlet grafikonján, ahol a megoldás nem függvény volt.
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.