Meredekségmező
Amennyiben eddig még nem tette, nézze végig a Bevezetés a differenciálegyenletekbe című részt. A meredekségmező lehetőséget ad arra, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek vizualizálhatóak legyenek és a megoldáshalmaz érzékeltethető legyen.
Próbálja ki a következőket!
- Ez az applet a meredekségmezőt ábrzolja a dy/dx = x egyenlethez. Tudjuk, hogy az általános megoldása ennek a differenciálegyenletnek y = ½x² + C, és ezek közül egy megoldás magenta színnel látható. A magenta pontot megfoghatja az egérrel és mozgathatja egy másik megoldásba. A szürke vonalkák reprezentálják a háttérben a meredekségmezőt. A differenciálegyenlet megmutatja, hogy egy adott (x,y) pontban mekkora a megoldás meredeksége a síkban. Az egyik lehetséges útja a vizualizációnak, ha kicsi szakaszokat rajzolunk szabályosan elhelyezkedő rácspontokba, minden szegmensben közelítőleg annyi a meredekség, mint az adott pontban. Ebben a példában, a meredeség egynlő x értékével, így minél messzebb vagyunk az y tengelytől, annál nagyobbá válik a meredekség és így a kis szürke vonalak is meredekebbek. Vegye észre, hogy a meredekség pozitív, ha x>0 és negatív ha x<0, amint azt vártuk! Azt is vegye észre, hogy differenciálegyenletünk jobb oldalán csak x van és nincs y, a meredekségmezőn ez úgy látszódik, hogy a vonalak meredeksége nem függ y-tól! Ha kiválasztjuk a vonalaknak egy függőleges oszlopát láthatjuk, hogy minden vonal meredeksége ugyanaz. Láthatóan a meredekségmező alakja ötletet ad a megoldás alakjához.
- Nézzük a 2. példát a legördülő listáról, amely a dy/dx = y differenciálegyenletet ábrázolja! A kiinduló megoldás éppen az x tengely, de megfoghatja a magenta pontot az egérrel, hogy lássa a további megoldásokat. Milyen függvény görbéje néz ki így? A következőkben látni fogjuk, hogy hogyan keressük meg a megoldást, és hogyan néz ki az alalkja. Megjegyezzük, hogy a differenciálegyenlet jobb oldala csak y-tól függ, így a meredekségmező vízszintes soraiban a vonalak meredeksége ugyanaz.
- Nézzük a 3. példát, amely a dy/dx = x + y differenciálegyenletet ábrázolja! Fogja meg a magenta pontot és mozgassa körbe, hogy lássa a különböző megoldásokat! Eben a példában a meredekség mindkettőtől, x-től és y-tól is függ, így a meredekségmező komplikáltabb, mint az előző példákban. Választhat más pédákat a menüből és vizsgálhatja ezek megoldásait. Figyelje meg az 5. pélát dy/dx = x/ y, vannak megoldások, amelyek szépek, simák, míg vannak olyanok, amelyek szabálytalanok, egyenetlenek. Az egyenetlen megoldások nincsenek korrekül ábrázolva, a grafikus algoritmus korlátai miatt, ez akkor következik be amikor a meredekségmező közel vízszintessé válik (erről a témáról többet fogunk megtudni, amikor az Euler módszert fogjuk elemezni).
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.