Szélsőérték tétel
Egy függvény optimális értékének a meghatározásánál problémától függően a globális minimumot vagy maximumot keressük.
Honnan tudjuk meg, hogy létezik ilyen? A szélsőérték tétel állítása szerint ha egy f függvény folytonos
az a ≤ x ≤ b zárt intervallumon, akkor f-nek
globális minimuma és globális maximuma van ezen az intervallumon.
Próbálja ki a következőket:
- Az első grafikon egy parabolarészletet mutat egy zárt intervallumon.
Világos, hogy létezik globális minimum és maximum.
- Válassza ki a második példát a legördülő menüből!
Ez egy két periódusra kiterjedő intervallumon ábrázolt szinuszgörbe.
Nyilvánvalóan létezik globális minimum és maximum, ebben az esetben nem is egy, hanem több.
A szélsőérték tétel nem garantálja, hogy egyetlen globális szélsőérték létezik,
csak azt, hogy legalább egy minimum és legalább egy maximum létezik.
- Válassza ki a harmadik példát, mely ugyanazt a parabolarészletet mutatja, mint az első példa, csak egy nyílt intervallumon!
Mivel a végpontok nem tartoznak hozzá az intervallumhoz, ezek nem lehetnek a globális szélsőéretékek.
Ezen az intervallumon a függvénynek nincs globalális minimuma vagy maximuma.
A szélsőérték tétel ezért követeli meg a zárt intervallumot, hogy elkerülje ezt a problémát.
- Válassza ki a negyedik példát, mely egy függőleges aszimptotájú hiperbolaszakaszt mutat!
Ezen az intervallumon sincs globális szélsőérték, és ez az egyik oka annak, hogy a szélsőérték tétel folytonos szakaszt követel meg.
- Válassza ki az ötödik példát, mely egy másik típusú diszkontinuitást mutat!
Itt sincs globális maximum, és ez a másik oka annak, hogy a szélsőérték tétel megköveteli a folytonosságot a szóban forgó intervallumon.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.