Kalkulus appletek

Folytonosság: szemléletes megközelítés

Egy függvény folytonos az értelmezési tartományának egy szakaszán, ha ott nem tartalmaz lyukat, ugrást vagy függőleges aszimptotát. Egy másik módon úgy érthetjük meg szemléletesen a folytonosságot, hogy feltesszük a kérdést: meg tudom-e húzni a függvény grafikonját a szakasz egyik végétől a másikig, anélkül hogy felemelném a ceruzámat? Az olyan függvények, mint a lineáris vagy polinom függvények mindenütt folytonosak.

Próbálja ki a következőket:

1. Az első ábrán egy egyszerű parabolát lát, amely mindenütt folytonos. Tologassa a csúszkát és figyelje meg, hogy a célkereszt zökkenőmentesen halad végig a grafikonon! Ezt a görbét a ceruzája felemelése nélkül tudná megrajzolni.
   
   
2. Válassza ki a második példát a legördülő menüből! A szinuszgörbe már tekervényesebb, de még mindig folytonos.
   
   
3. Válassza ki a harmadik példát! Ennek a függvénynek függőleges aszimptotája van az x = 1 helyen. Mozgassa a csúszkát és figyelje meg, hogy ha felrajzolná a görbét, ennél a pontnál fel kellene emelnie a ceruzáját, hogy a grafikon másik feléhez átjusson. Ezt hívjuk lényeges szingularitásnak.
   
   
4. Válassza ki a negyedik példát! Ez a függvény az x = 1 helyen 1-ről 2-re ugrik. Ezt hívjuk szakadásnak. Tolja el a csúszkát: nyilván itt is fel kellene emelnie a ceruzáját a görbe megrajzolásához.
   
   
5. Válassza ki az ötödik példát! Ez a függvény lyukas az x = 1 helyen. Ezt hívjuk hézagpontnak. Szinte nem is kell felemelnie a ceruzáját, de ettől még van egy szakadás a görbén, még ha csak egyetlen pontban is. A csúszkát pontosan az x = 1 helyre állíthatja, ha 1-et ír be a x = mezőbe, hogy megváltoztassa annak értékét. Ekkor a csúszka erre az x értékre áll rá. Milyen y értéket kap ebben az esetben?

Beszélhetünk egy értelmezési tartomány valamely szakaszán belüli folytonosságról. Például a fenti szakadásos függvények mindegyike folytonos a -1 < x < 0 szakaszon, mivel az értelmezési tartomány ezen részében nincs szakadási helyük. Megkérdezhetjük, hogy egy függvény vajon folytonos-e, ami (a legtöbb tankönyv szerint) azonos azzal a kérdéssel, hogy a függvény folytonos-e az értelmezési tartományán. Ez persze kissé furfangos dolog, hiszen az y = 1/x függvény definíció szerint folytonos lesz, miután a szakadási helye, az x = 0 pont nem része az értelmezési tartományának. Az applet negyedik példája viszont nem folytonos függvény, hiszen az x = 1 hely része az értelmezési tartományának (amit a grafikonon egy teli pöttyel jelzünk), ám itt szakadása van.

Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.