Közbülső érték tétel (Bolzano tétel)
Ha egy függvény egy szakaszon folytonos, akkor ott nem tartalmaz lyukat, következésképpen
nem "ugorhat át" értékeket. Ha egy függvény az x = a és x = b közötti zárt szakaszon folytonos,
akkor az a és b közé eső minden egyes x számhoz függvényértéket rendel. Egészen pontosan
minden f (a) és f (b) közé eső függvényértéket hiánytalanul fel fog venni.
Szabatosabb megfogalmazással a közbülső érték tétel a következőt állítja:
Legyen f egy [a,b] zárt intervallumon folytonos függvény. Ha k egy f (a) és f (b) közé eső szám,
akkor létezik legalább egy olyan c szám az [a,b] intervallumon belül, amelyre f (c) = k.
Az alábbi applet ennek megértésében fog segíteni. A [0,2] intervallumot fogjuk megnézni néhány függvényre.
Próbálja ki a következőket:
- Az első ábra egy parabolarészletet mutat, amely folytonos a [0,2] intervallumon.
Ha k = 1, található-e olyan c bemenő érték, amelyre f (c) = k ? Tolja el a c csúszkát, vagy
írjon be egy sejtést a c mezőbe úgy, hogy a célkereszt vízszintes értéke megegyezzen az y = k = 1 értékkel!
Nyilvánvalóan a válasz az, hogy c = 1. Figyelje meg, hogy bármely 0 és 4 közé (azaz
f (0) és f (2) közé) eső k-hoz létezik olyan c szám, amelyhez a függvény éppen ezt a k értéket rendeli!
- Válassza ki a második példát! Ez a megnyújtott szinuszgörbe részlet is folytonos a [0,2] intervallumon.
Ha k = 1, található-e olyan c bemenő érték, amelyre f (c) = k ? Tolja el a c csúszkát, vagy
írjon be egy sejtést a c mezőbe, amelyre c kiadja az y = k = 1 értéket! Jelen esetben
két jó értékünk van c-re. Ezzel nincs is semmi probléma, hiszen a közbülső érték tétel csak annyit mond, hogy
legalább egy c értéknek léteznie kell, s nem pontosan egynek.
- Válassza ki a harmadik példát! Ennek a függvénynek függőleges aszimptotája van az x = 1 helyen, így nem folytonos.
Ha k = 0.5, létezik-e olyan c bemenő érték, amelyre f (c) = k ? Tolja el a c csúszkát,
vagy írjon be egy sejtést a c mezőbe! Most semmi sem működik. A folytonosság hiánya miatt a függvény
"átugorhatja" az y = 0.5 értéket, sőt, igazából minden -1 és 1 közé eső értéket átugrik.
- Válassza ki a negyedik példát! Ez a függvény az x = 1 helyen 1-ről 2-re ugrik. Ezt hívtuk szakadásnak, tehát a függvény nem folytonos.
Ha k = 1.5, létezik-e olyan c bemenő érték, amelyre f (c) = k ?
Tolja el a c csúszkát, vagy írjon be egy sejtést a c mezőbe! Most sem működik a dolog.
A folytonosság hiánya miatt a függvény "átugorhatja" az y = 1.5 értéket.
- Válassza ki az ötödik példát! Ez a függvény lyukas az x = 1 helyen, vagyis hézagpontja van, így nem folytonos.
Ha k = 1, létezik-e olyan c bemenő érték, amelyre f (c) = k ?
Tolja el a c csúszkát, vagy írjon be egy sejtést a c mezőbe! Most sem működik a dolog.
A folytonosság hiánya miatt a függvény "átugorhatja" az y = 1 értéket.
Amint látjuk, a közbülső érték tétel csak a folytonos függvényekre érvényes. A diszkontinuitás
lehetővé teszi, hogy egy függvény "átugorjon" értékeket.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.