Megtett távolság becslése a sebesség ismeretében, grafikon használatával
Nézzük újra az úton haladó autó esetét, de most a megtett távolságot nem táblázat, hanem grafikon segítségével becsüljük. Az adatok ebben az esetben is ugyanazok lesznek, mint az előző appletben.
Próbálja ki a következőket!
- Az applet egy autó sebesség grafikonját ábrázolja (magenta) láb/s mértékegységben. Az első példa egy 20 láb/s-os konstans sebességgel haladó autó esetét mutatja, a 8s két 4s-os intervallumra van felosztva. A megtett távolság így 4 szorozva 20, azaz 80 láb (1 láb kb. 30,48 cm), a teljes távolság így 80 + 80 = 160 láb. Vegye észre, hogy a megtett távolság éppen annak a téglalapnak a területe, amelynek a szélessége 4 sec a magassága 20 láb/s. Az intervallumok számát lehet változtatni 4 vagy 8 nem számít, a terület nem változik, így ez az eset nem annyira érdekes grafikusan.
- Nézzük a 2. példát a legördülő listáról! Ebben az esetben az autó gyorsulva mozog 8s-on keresztül. Kezdetben 2 intervallum segítségéval becsüljük a megtett utat, mindkettő 4s széles (a szélesség delta t, a grafikon tetején a bal felső sarokban látható, ez a végpont és a kezdőpont közötti időtartam osztva az intervallumok számával. Használjuk a kezdő sebességeket mindkét intervallum esetében (azaz, left), a becsült távoság az első intervallumban 4 szorozva 20, és a második intervallumban 4 szorozva 64, a teljes távolság így 336 láb. Vegye észre újra, hogy a távolságot a téglalapok területe adja (rózsaszín terület: pink area, bal felso sarokban)! Válassza a lehetőség ablakban (value to use:) a right (jobb oldali) sebességeket mindkét intervallumban (kék téglalapok: blue area, bal felső sarokban)! A téglalapok területe nagyobb, így a becsült távolság is nagyobb lesz. Most válasszuk a left & right lehetőséget az ablakból (value to use:)! Ez egyszerre mutatja mindkettőt a rózsaszín és a kék téglalapokat, bíborral színezve a közös területeket. Látható, hogy a kék téglalapok nagyobbak, és a kék színűnek látható terület a két becslés különbségével egyenlő: 560 - 336 = 224. Most legyen az intervallumok száma 4. Vegye észre, hogy most ez a különbség 520 - 408 = 112, fele az előbb kapott éréknek! Vagyis, ha megkétszerezzük az intervallumok számát feleződik a különbség ebben a példában. Próbálja 8, 16, és 32 intervallumra és figyelje meg vajon ez az állítás igaz marad-e!
- Nézzük a 3. példát a legördülő listáról! Itt az autó először gyorsul, majd lassul megállásig és újra gyorsul! Nyilvánvaló, hogy két intervallum használata becslésre nem lesz túl jó. Válasszuk a right lehetőségt a választási ablakból! Egyik sem látszik túl jó megoldásnak, mert a második intervallumban a kék terület túl nagy. Választva a left & right lehetőséget látható, hogy a különbség túl nagy: 368 - 48 = 320. Most nézzük meg 4 intervallumra. Vegyük észre, hogy a különbség a két becslés között feleződött: 240 - 80 = 160! Ebben az esetben hol a kék, hol a rózsaszín téglalapok a magasabbak. Próbálja ki 8, 16, és 32 intervallumra! Ezekben az esetekben a különbség egyre kisebb lesz.
- Nézzük a 4. példát a legördülő listáról! Ez hasonló az előző esethez, az autó álló helyzetből indul (velocity = 0) gyorsul, lassul, megáll, majd visszafordul (negatív sebesség), újra megáll, majd gyorsítva halad előre. Mivel a kezdő sebesség 0, a téglalap területe az első intervallumon, left-et választva, nulla, azaz nincs terület (vagyis a téglalap magassága 0). Vegyük észre, hogy a második intervallumhoz tartozó téglalap a vízszintes tengely alatt van, tehát a terület negatívnak adódik, ez az oka, hogy a teljes terület ebben a közelítésben (rózsaszín:pink) -32 láb! Válasszuk a right-t a választási ablakból. Most a becslés pozitív lesz. Válasszuk a left & right lehetoséget, hogy megnézzük mindkettot. Növeljük az intervallumok számát 16-ra (lehet elenorizni 4-re és 8-ra is)! Vegyük észre, hogy amikor a vízszintes tengelytől való távolsága a görbének növekszik, a kék téglalapok magasabbak (right hand), de amikor a görbe közeledik a vízszintes tengelyhez, a rószaszín téglalapok lesznek magasabbak. Gondoljk végig a feladatot a pozitív vagy negatív, valamint növekvő és csökkenő sebességfüggvény szempontjából! Melyik kombináció esetén lesz a nagyobb left választásakor (azaz a rózsaszín: pink) a téglalap? Melyik kombináció esetén lesz a nagyobb right (azaz a kék: blue) választása esetén a téglalap?
- Növeljük az intervallumok számát 1000-re és válasszuk a left & right lehetőséget! Mit veszünk észre a left és right becslés különbségéről? Azt látjuk, hogy a pontos válasz arra a kérdésre mekkora távolság van az autó a kezdő s végpontja között, a görbe alatti pozitív terület, amikor az a vízszintes tengely felett halad, és a görbe fölötti negatív terület, amikor az a vízzintes tengely alatt megy. A pontos válasz, amelynek kiszámítását meg fogjuk tanulni, 64 láb.
- Nézzük az 5. példát a legördülő listáról! Ebben az esetben a sebességfüggvényt meg lehet adni, azaz saját példákat is ki lehet próbálni. Szerkeszteni tudja a sebességfüggvény definícióját (t jelöli a változót), a kezdeti időt, a megállási időt, és az intervallumok számát.
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.