Kalkulus Appletek

Riemann összegek

Ebben a részben számolással megvizsgáljuk, hogy az ismert sebességű autó ténylegesen mekkora távolságra jut el. Láttuk, hogy az intervallumok számának növelésével (és így a téglalapok szélességének csökkenésével) a téglalapok területeinek összege egyre jobban közelítette a görbe alatti területet. Ezt az eljárást fogjuk a következőkben általánosítani és pontosabban leírni. Legyen f (t) egy folytonos függvény az a ≤ t ≤ b intervallumon. Osszuk fel ezt az intervallumot n egyenlő intervallumra, mindegyik széles lesz. Legyen t_i az i-edik intervallum végpontja, ahol t₀ = a, t_n = b, és t_i = a + iΔt. Ezek után felírhatjuk a bal oldali összeget és a jobb oldali összeget:

Bal oldali közelítő összeg =

Jobb oldali közelítő öszeg =

Ezeket az öszegeket, amelyek a független változó kicsi tartománya szorozva egy bizonyos függvényértékkel tagokból áll elő, Riemann közelítő összegeknek nevezzük. Ha vesszük a határértékét ezeknek az összegeknek n tart végtelen és Δt tart zérus esetén, megkapjuk az adott fügvényhez tartozó görbe alatti területet. Ezt határozott integrálnak nevezzük és így jelöljük:

A bal oldali közelítő összeg határértéke =

A jobb oldali közelítő összeg határértéke =

A nyújtott s alakú jel integrál jel, a és b az integrálási határok, és az f (t) függvény az integrandus. A dt mutatja, hogy melyik változó szerint integrálunk (ennek igazából majd a többválozós függvények integrálásakor lesz szerepe). Szokásos módon a dt -t írjuk utoljára. Vegyük észre, hogy a bal oldali és a jobb oldali összegek határértéke egyenlővé válik, ahogy az n tart a végtelenhez! Másrészt a változó nem csak a t vagy az idő lehet. Egy x-től függő függvény integrálására egy példa lehet , amely azt jelenti, hogy a 0-tól 2-ig tartó intervallumot felosztjuk n egyenlő részre, összegezzük az így létrejött téglalapokat (amelyeknek a magassága éppen x²), majd vegyük a határértékét az összegnek, amint az n tart a végtelenhez. Ki tudjuk számolni a határozott integrált kalkulátor vagy szoftver segítségével, megengedve azt is, hogy az n nagy legyen, pl. 1000. Később megtanuljuk, hogy néhány esetben hogyan kell kiszámolni a határértéket és megadni a teljesen pontos értéket.

Próbálja ki a következőket!

1. Az applet egy hiperbola részletet mutat, melyet így definiálunk: f (x) = 1/x. Növeljük az intervallumok számát: 4, 10, 100, majd 1000. Ugyan nem tudjuk pontosan a görbe alatti területet az 1-től 2-ig terjedő intervallumra, de tudjuk, hogy ez az összeg a bal és a jobb oldali közelítő értékék között van, így 0,69 az értéke két tizedesjegy pontosságig.
   
   
2. Nézzük a 2. példát a legördülő listáról! Ez egy egyenest mutat f (x) = x. Növeljük az intervallumok számát, és figyeljük, hogy mi történik a bal és a jobb oldali közelítésekkel. Geometriából tudjuk, hogy egy háromszög területe 1/2-szer az alap szorozva a magassággal, azaz a pontos terüet 2.
   
   
3. Nézzük a 3. példát a legördülő listáról, amely egy félkört mutat (klikkeljen a Equalize Axes-ra, ha nem szabályos körnek látszódik). Miért lesz a bal és a jobb oldali közelítés egyenlő? (Segítség: használja a választási ablakban csak a bal vagy csak a jobb oldali téglalapokat és nézze meg hogyan viszonyulnak egymáshoz). Növelje az intervallumok számát és figyelje mi történik! Tudja használni a geometriából ismert formulát a terület kiszámítására?
   
   
4. Nézzük a 4. példát a legördülő listáról! Most egy olyan parabolát látunk, amely az x tengely alá is lemegy. Azonosak a bal és a jobb oldali közelítések? Miért? Növeljük az inervallumok számát 1000-ig! Ki tudná találni a pontos területet, arra alapozva, hogy a becsült értékek mihez közelítenek? Vegye észre, hogy a terület negatív, mivel a megadott intervallumon a görbe az x tengely alatt fut.
   
   
5. Nézzük az 5. példát, amely a szinusz függvényt ábrázolja az első periódusban. Növeljük az intervallumok számát és figyeljük a közelítést (1.00E-9 tudományosan elfogadott jelölést használják, amelynek jelentése:). Mit gondol mennyi kellene hogy legyen a pontos érték egy teljes periódusra, emlékezvén arra, hogy az x tengely alatti terület negatív az x tengely feletti pedig pozitív? A közelítés nagyon közel van a nullához, de van egy pici eltérés a kerekítési hibák miatt.
   
   
6. Amennyiben szeretné saját függvényét kipróbálni, ebben az appletben megtehető, a függvényt definiálni kell ( x a független váltzó) valamint meg kell adni a kezdő- és végpontot, az intervallumok számát, használja a control panel-t (vagy az egeret) a grafikon pásztázásához vagy a zoomolásához, ahogyan szeretné.

This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.