Kalkulus appletek

L'Hopital szabály

Tegyük fel, hogy meg szeretnénk határozni értékét az f (a) = g (a) = 0 feltétel mellett. Ennek egyik módszerét a L'Hopital szabály adja meg, mely a következőt állítja: ha f (x) és g (x) differenciálható függvények és f (a) = g (a) = 0, akkor , feltéve hogy a jobboldali határérték létezik. Más szóval az eredeti határértéket úgy kapjuk meg, hogy meghatározzuk a számlálóban és nevezőben álló függvények deriváltjai hámnyadosának a határértékét. A következő appletben azt próbáljuk megértetni, hogy miért működik ez a szabály.

Próbálja ki a következőket:

1. Az applet baloldalán a grafikonját látja. Ez a függvény nincs értelmezve az x = 0 pontban, de eléggé nyilvánvalónak tűnik, hogy van határértéke e pontban. Ha bevezetjük az f (x) = e^2x - 1 és g (x) = x jelöléseket, alkalmazhatjuk a L'Hopital szabályt, vagyis a határértéket meghatározhatjuk a számláló és nevező deriváltjai hányadosának határértékéből. Íme: . Jegyezze meg, hogy nem a hányados deriváltját vesszük a hányadosra vonatkozó deriválási szabály szerint, hanem külön-külön deriváljuk a számlálóban és a nevezőben álló függvényeket, majd meghatározzuk a hányadosuk határértékét. Figyelje meg, hogy míg az eredeti hányados nem értelmezhető az x = 0 helyen, a deriváltak hányadosa már igen, így a határértéket kiszámolhatjuk pusztán úgy, hogy helyettesítjük az x = 0 értéket!
   
   Miért működik ez a módszer? A jobboldali grafikon f (x)-et és g (x)-et mutatja. Ha rákattint néhányszor a Zoom In gombra, a lokális linearitás miatt a görbe egyre hasonlóbbá válik egy egyeneshez. Ezért a függvényeket közelíteni tudjuk az x = 0 pontbeli érintőjükkel (vagyis f (x) ≈ 2x és g(x) ≈ x), a hányadosukat pedig közelíteni tudjuk ezen érintők hányadosával. Végső soron ez az érintők meredekségének az arányával, azaz pontosan a számláló és nevező deriváltjainak a hányadosával lesz egyenlő.
   
   
2. Válassza ki a második példát a legördülő menüből! Ez egy másik példa: . Ha most megint rákattint néhányszor a Zoom In gombra a grafikonok ismét kiegyenesednek és a hányadost ki tudjuk számolni a deriváltértékek hányadosának segítségével.
   
   
3. Válassza ki a harmadik példát, mely ezt mutatja: . Ebben az esetben a jobboldali határérték nem létezik, így a L'Hopital szabályt nem tudjuk alkalmazni.
   
   
4. A L'Hopital szabály abban az esetben is működik, ha f (a) = g (a) = ∞, illetve ha .

Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.