Egyoldali és kétoldali határérték, és a határérték hiánya
Előfordulhat, hogy egy függvénynek nincs határértéke valamely bemenő értékre. A következő példák néhány ilyen esetet mutatnak be.
Próbálja ki a következőket:
- Az első grafikon egy szakadásos függvényt mutat. Mi a határérték, ha c = 1?
Más szóval, ha x közelít 1-hez, milyen értékhez közelít f (x)?
Tolja el az x csúszkát úgy, hogy az x egyre közelebb kerüljön 1-hez!
Mint látja, f (x) 1-hez közelít, ha x balról közelít az 1-hez,
de f (x) 2-höz közelít, ha x jobbról közelít az 1-hez. Baloldali határértéknek nevezzük, és
írásmóddal jelöljük azt az esetet, amikor
negatív irányból (balról) közelítünk. Jobboldali határértéknek nevezzük, és 
írásmóddal jelöljük azt az esetet, amikor pozitív irányból (jobbról) közelítünk. Ha a baloldali és a jobboldali határértékek
különböznek egymástól (mint jelen esetben), akkor azt mondjuk, hogy f (x)-nek nincs határértéke a c helyen.
Ha a baloldali és a jobboldali határértékek léteznek és azonosak, akkor azt mondjuk, hogy létezik határérték.
- Válassza ki a második példát! Ennek a függvénynek van egy függőleges aszimptotája. Mi a határérték, ha c = 1?
Más szóval, milyen értékhez közelít f (x), ha x 1-hez közelít? Tolja el az x csúszkát
úgy, hogy az x egyre közelebb kerüljön 1-hez! Mint látja, f (x) mindkét irányból végtelenhez tart.
Ebben az esetben vagy azt mondjuk, hogy a határérték végtelen, vagy azt, hogy nem létezik, hiszen a végtelen nem szám.
Néha ezt írjuk:
, hogy jelezzük, a határérték azért nem létezik, mert végtelen.
- Válassza ki a harmadik példát! Ez a függvény, a sin(1/x), rendkívüli tekergőzésbe kezd az origó környékén.
Ha a c csúszkát az x = 0 közelébe viszi, láthatja, hogy az y érték össze-vissza ugrál.
Zoomoljon bele és próbálkozzon ismét! Minél jobban belenyagyít a grafikonba, annál tekergőzőbbnek tűnik közelről
(valójában persze nem lesz tekergőzőbb, hanem a grafikai szoftver felbontóképességének vannak korlátai, így a zoomolásnál
csupán többet mutat meg a sűrűn sorjázó hullámokból). Ennek a függvénynek nincsen határértéke a c = 0 helyen, mivel semmilyen konkrét értékhez nem közelít.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.