Lineáris közelítés
Egy differenciálható függvényt közelíteni tudunk valamely pontjában az érintő segítségével. Legyen f (x) egy differenciálható függvény és legyen (a, f (a))
az f görbéjének egy pontja. Ekkor a meredekség ebben a pontban f ' (a).
A meredekség segítségével az érintőegyenes egyenletét a következőképpen írhatjuk fel: y - f (a) = f ' (a)(x - a).
Ha ezt megoldjuk y-ra, és azt egy új függvénynek, L(x)-nek nevezzük, akkor a L(x) = f ' (a)(x - a) + f (a) képlethez jutunk. Ez nem más, mint az
f függvény x = a pontbeli érintőjének az egyenlete. Az a-hoz közeli x értékekre L(x) elég jól közelíteni fogja az f (x)-et.
Próbálja ki a következőket:
- Az applet először egy parabola grafikonját mutatja. A lila pont az érintési pont, koordinátája (a, f (a)). A kék pont
a görbe egy pontja, koordinátája (x, f (x)). A fekete pont az érintőn helyezkedik el és a kék pontnak a közelítése.
A fekete pont koordinátái (x, L(x)), ahol L az érintőegyenes függvénye. A függőleges fekete vonalszakasz
az f (x) és az L(x) közti hibaeltérést mutatja. Az f (x), L(x) és a hibaeltérés értékei a grafikon jobb felső sarkában láthatók.
Kattintson rá a "Restore Limits", majd a "Zoom In" gombra! Figyelje meg, hogy a nagyítás során a görbe egyre jobban hasonlítani kezd egy egyeneshez!
Tolja el az x csúszkát úgy, hogy x közel kerüljön a-hoz, és figyelje meg, hogy a hibaeltérés ekkor szinte elhanyagolható!
- Válassza ki a második példát, mely egy szinuszgörbét mutat és az érintőjét a 0-ban! Tolja el az x csúszkát és figyelje meg, hogy ha közel kerül 0-hoz a hibaeltérés csekéllyé válik,
míg ha távolodik 0-tól, megnő. Ha belenagyít itt néhányszor a grafikonba, azt fogja látni, hogy a szinuszgörbe rohamosan hasonlítani kezd egy egyeneshez,
mivel a görbülete nem igazán számottevő.
- Válassza ki a harmadik példát, mely ugyanazt a szinuszgörbét mutatja, de most a π / 2 pontbeli érintővel! Tolja el az x csúszkát és figyelje meg,
hogy most igen közel kell mennie az a-hoz ahhoz, hogy a hibaeltérés lecsökkenjen! Ha belenagyít itt néhányszor a grafikonba, azt tapasztalja, hogy most többször kell zoomolni ahhoz, hogy a görbe elkezdjen egy egyenesre hasonlítani,
mivel ezen a tartományon a szinuszgörbe görbülete nagyobb (vagy más szóval, a második derivált messzebb esik 0-tól).
- Furcsának találhatja, hogy a kijelzőn mutatott L(x) egyenletben a meredekség nem 0, hanem egy ahhoz közeli apró érték.
Ezt a kerekítési hibák okozzák. Az első kerekítési hiba ott lép fel, hogy az a = 1.5708 érték nem pontosan egyenlő π / 2-vel. Írjon be "pi / 2"-t az a mezőbe!
Azt fogja látni, hogy a meredekség most egy kisebb szám, de még mindig nem 0. Ez amiatt van, hogy a számítógép és a szoftver egy véges sok tizedesjegyű számmá kerekíti fel π értékét, így
a derivált kiszámításánál egy nullához igen közeli, de nem nulla értéket kapunk.
- Ön is megadhat tetszőleges függvényeket, megadhatja az a rubrikában vagy a csúszkával az érintési pontot, majd kiválaszthatsz az x mezőben vagy a csúszkával egy hozzá közel eső pontot.
Nézze meg az exponenciális függvényeket, hatványfüggvényeket, stb!
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.