Felezőpont és trapézformula Riemann összegre
Már ismerjuk azokat a Riemann összegeket, amelyeknél a téglalapok magasságát az intervallumok bal vagy a jobb oldali végpontjainak felhasználásával kapjuk. Ebben a részben két másik módszert mutatunk be az összeg felírására. A felezőpont módszernél az intervallum középpontját választjuk ahhoz, hogy megadjuk a téglalap magasságát. A trapéz módszernél a téglalap helyett trapézt használunk a terület közelítésére minden intervallumon.
Próbálja ki a következőket!
- Az 1. példa bevezetőként egy egyenest és a Riemann összeget ábrázolja, 4 intervallummal és bal oldali végpontokkal. A téglalapok magasságát az intervallum bal oldali végpontjához tartozó függvényértékek adják. Miért hiányzik a harmadik bal oldali téglalap? (segítség: mi a függvény értéke az x = 0-ban?). Használja a legördülő listát és válassza ki a "Right"-ot! Ebben az esetben a téglalapok magasságát az intervallum jobb oldali végpontjához tartozó függvényértékek adják. Következőnek válassza ki a "MidPoint"-ot és figyelje a téglalapok magasságát! Végül válassza ki a "Trapezoid"-ot és vegye észre, hogy a téglalapok helyett most trapézokat lát, és így a bal és a jobb oldali magasságértékeket köti össze egy-egy ferde szakasz (amelyek ebben a példában pontosan az egyenesen vannak rajta)! A grafikon bal felső sarkában láthatja a Riemann összeget és a görbe alatti területet (amely nem pontosan 0 a kerekítési hiba miatt). A négy módszer közül melyik közelíti meg a legjobban a tényleges területet?
Melyik a legjobb becslés? Melyik a legrosszabb?
- Nézzük a 2. példát, amely egy parabolát mutat be! Vizsgálja meg mind a négy módszerrel a Riemann összeget! Ebben a példában a trapéz módszert jobban lehet látni. A négy módszer közül melyik közelíti meg a legjobban a tényleges területet? Melyik a legjobb becslés? Melyik a legrosszabb?
- Nézze végig a többi példát is (a harmadfokú függvényt, a koszinusz függvnyt és a szinusz függvényt). Természetesen most is kipróbálhatja saját függvényét, tudja változtatni a-t és b-t, tud kicsinyíteni, nagyítani és tudja mozgatni a grafikont.
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.