Integrálás helyettesítéssel
Az eddigiekben láttuk, hogy hogyan keressük meg az "antiderivált" (primitív) függvényt, felhasználva ismereteinket az alapderiváltakról és a deriválási szabályokról, melyeket "visszafelé" alkalmaztunk. Másként fogalmazva, ha egy integrál integrandusában felismerhető valamelyik deriválási szabály, akkor felismerjük a primitív függvényt, amelyre alkalmaztuk a deriválási szabályt. Tegyük fel, hogy egy olyan összetett függvény van az integrandusban, amelyet a láncszabály alkalmazásával kaptunk. Például, ha f (u) = eu (amit külső függvénynek nevezünk) és g(x) = x² (amit belső függvénynek nevezünk). A két függvény kompozíciója f (g(x)) = ex² és a deriváltja a láncszabály alapján f '(g(x))g'(x) =2x ex² . Ha van egy integrálunk ezzel az integrandussal, akkor tudjuk, hogy az integrandus az eredeti függvény deriválásával állt elő a láncszabályt alkalmazva. Ez megengedi nekünk, hogy egyszerűsítsük és megkönnyítsük az "antiderivált" megtalálását. A speciális példánknál legyen az integrál 
. Az integrandus nem eredménye valamelyik alap deriválási szabálynak, de talán a láncszabály alkalmazásának lehet következménye. Amennyiben u = g(x) = x², akkor du/dx = g'(x) = 2x. Ha megvizsgáljuk du-t és dx-t formálisan, akkor ki tudjuk cserélni a kettőt du = 2xdx. Így egyszerűsíthetjük az integrált, ha du-ra cseréljük 2xdx-et, és u-ra cseréljük x²-t, és átváltjuk az x határokat u határokra, akkor kapjuk: 
, amely már egyszerűen megoldható eu deriválási szabálya alapján. Általánosabban fogalmazva: 
. Ez az "antideriválási" szabály, amely a láncszabályhoz tartozik. A trükk természetesen az, hogy kitaláljuk f-t és g-t egy adott bonyolult integrandusból. Az applet abban segít, hogy megértsük az egyenértékűségét ennek a két integrálnak. Az algebrai átalakítások és a helyettesítéses módszer megtalálható néhány jó kalkulus könyvben.
Próbálja ki a következőket!
- Az applet két függvényt ad meg f (u) = eu és g(x) = x². A bal oldali grafikon a fent említett példát mutatja f '(g(x))g'(x) =2x ex², amely f-ből és g-ből származtatott. A jobb oldali grafikon f '(u) = eu-t ábrázolja. A bal oldali grafikonon a határokat a és b jelöli, míg a konvertált határokat g(a) és g(b) jelöli a jobb oldalon. Mozgassa az a vagy a b csúszkát, hogy változtassa a határokat, és figyelje meg hogyan mozognak a jobb oldalon a konvertált határok! Ezután figyelje meg, hogy hogyan változnak a területek az egyes görbék alatt! A két terület egyenlő, ami azt jelenti, hogy le tudtuk egyszerűsíteni a komplikáltabb integrandust 2x ex² egy egyszerűbb eu függvényre, megkönnyítettük saját munkánkat, hogy könnyebben megtaláljuk az "antidervált"-at, azaz a primitív függvényt.
- Nézzük a 2. példát! Itt, f (u) = eu és g(x) = sin(x), tehát az integrál, amit meg kellene oldanunk
. Használjuk a helyettesítést az egyszerusítésre 
! A grafikon a két integrál egyenlőségét mutatja, mivel a bal oldali az első integrandust rajzolja ki, a jobb oldali grafikon pedig a második függvényt rajzolja ki, és a területek egyenlőek (természetesen a határok konvertálva vannak). Mozgassa a b csúszkát, hogy megváltoztassa a felső határt és figyelje hogy a területek egyenlőek maradnak-e, különösen amikor a színezett területek nem tűnnek azonosnak! Például legyen b = 4; látja a két színezett területről, hogy azok hogyan lesznek egyenlőek?
- Ki tudja próbálni saját függvényeit f-re és g-re, és tudja kicsinyíten vagy nagyítani, illetve tologatni a grafikont. Amikor saját függvényét állítja össze, használja a láncszabályt, hogy kigondolja mi lesz az összetett függvény, majd használja a helyettesítést egyszerűsítésre (és hozza összhangba a határokat).
This work by Thomas S. Downey is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 License.