Mozgás egyenesen
A kalkulust felhasználhatjuk annak megértéséhez is, hogy hogyan mozog egy tárgy egy egyenes mentén.
Tegyük fel, hogy egy tárgy egy meghatározott pontból indulva egyenes vonalú függőleges mozgást végez,
és a tárgy helyzetét t időpontban az s(t) helyzetfüggvény fejezi ki,
mely megadja, hogy milyen messze került a tárgy a kiindulóponttól.
A pozitív távolságokat egyezményesen felfelé mérjük (azaz a kiindulópont fölött lévőknek tekintjük őket).
A tárgy sebessége t időben ekkor nem más, mint a helyváltoztatás mértéke az idő függvényében,
vagyis v(t) = s'(t). Hasonlóan, a tárgy gyorsulása t időben nem más, mint
a sebesség deriváltja, vagyis a helyzetfüggvény második deriváltja: a(t) = v'(t) = s''(t).
Ha e három függvényt ismerjük, a tárgy mozgásával kapcsolatos legkülönfélébb kérdésekre tudunk válaszolni.
Próbálja ki a következőket:
- Az applet első példája egy függőlegesen felhajított tárgyat mutat, ahol
t a másodpercben mért időt, s a méterben mért magasságot jelöli (a talajon s = 0).
A helyzetfüggvényt az s(t) = -4.9t² + 20t
függvény adja meg, a sebesség pedig ennek deriváltja, vagyis v(t) = -9.8t + 20 m/s.
A gyorsulás a sebesség deriváltja, vagyis a(t) = -9.8.
A gyorsulás a Föld gravitációja miatt konstans, mértékegyesége m/s².
Az előjele negatív, hiszen a tárgy lefelé gyorsul.
Az appletben a baloldali grafikon a tárgyat egy függőleges egyenesen elhelyezkedő fekete ponttal jelzi.
A jobboldali grafikon mutatja s-t (lilával), v-t (kékkel) és a-t (pirossal),
mindet t-hez képest. Kattintson rá a Start gombra, hogy elinduljon az animáció!
Figyelje meg, hogy a tárgy fölfelé, majd lefelé mozog, hiszen ebben a problémában a tárgy csupán függőleges mozgást végez.
Könnyű összekeverni a dolgokat, és azt képzelni, hogy a lila görbe a tárgy pályáját mutatja. Ez azonban tévedés, a lila görbe a magasságot ábrázolja az idő függvényében.
- Ebben a példában a tárgy feljut a csúcspontra, majd innen elkezd visszafele zuhanni, s végül becsapódik a talajba.
Hogyan tudjuk meghatározni azt az időpontot, amikor ez a két esemény bekövetkezik?
A becsapódás időpontjának meghatározásához azt kell kiszámolnunk, hogy mikor lesz s(t) = 0.
Más szóval meg kell oldanunk a 0 = -4.9t² + 20t egyenletet t-re.
Az egyik megoldás nyilvánvalóan a t = 0 időpont, hiszen a tárgy a talajszintről indult.
A másik megoldást az egyenlet rendezésével kapjuk meg, és ez a t ≈ 4.082 érték lesz.
A legmagasabb pont elérésének időpontját úgy határozhatjuk meg, ha kiszámoljuk, mikor lesz a sebesség nulla,
azaz ha megoldjuk a 0 = -9.8t + 20 egyenletet. Némi rendezés után azt a választ kapjuk, hogy t ≈2.041.
- Válassza ki a második példát! Ez egy jóval bonyolultabb mozgást mutat a 0 ≤ t ≤ 5 időintervallumban.
Kattintson a Start gombra, hogy elinduljon az animáció és a fekete pötty elkezdjen föl-le mozogni! Hogyan tudná meghatározni, hogy a tárgy mikor tartózkodik az s = 0 pontban?
Hogyan tudná meghatározni, hogy a tárgy mikor vált irányt?
- Válassza ki a harmadik példát, mely egy ingamozgást mutat a 0 ≤ t ≤ 6π időintervallumban! Kattintson a Start gombra, hogy
elinduljon az animáció! Hogyan tudná meghatározni, hogy a tárgy mikor éri el a legmagasabb kilengési pontot?
És a legalacsonyabb kilengési pontot? Mikor a leggyorsabb? És mikor maximális a gyorsulása?
- Próbálkozzon saját példákkal is! Írjon be egy függvényt a t változó alkalmazásával!
Állítsa be a tmin, tmax, smin és smax értékeket (vagy pásztázzon és nagyítson az egérrel)!
Az animáció és a csúszka tmin-től tmax-ig fog tartani.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.