A határértékek táblázatos áttekintése
Nézzünk meg az eddig vizsgált függvények közül néhányat úgy, hogy a függvénygrafikon mellett értéktáblázatot is használunk.
Mindegyik példa táblázatban mutatja a függvényértékeket, melyek jobbról és balról közelítenek c-hez.
Próbálja ki a következőket:
- Az első grafikonon a legutóbbi példában szereplő egyenes látható. Vajon a határérték L = 0.5, ha c = 1 ? Más szóval,
f (x) vajon 0.5-hez tart-e, ha x 1-hez tart? Nézzük meg az értéktáblázatot: amint x mindkét irányból 1-hez tart, úgy
a függvényértékek 0.5-hez tartanak. Figyelje meg, hogy a táblázat nem tartalmazza az f (c) értékét, minthogy a határérték enélkül is meghatározható!
- Válassza ki a második példát! Ez ugyanaz, mint az első, csak egy pontját áthelyeztük. Vajon még mindig igaz-e, hogy a határérték L = 0.5, ha c = 1 ?
Más szóval, f (x) vajon 0.5-hez tart-e, ha x 1-hez tart? Nézzük meg az értéktáblázatot: amint x mindkét irányból 1-hez tart, úgy
a függvényértékek 0.5-hez tartanak. Az a tény, hogy f (c) nem egyenlő 0.5-del (hanem 1-gyel), nem befolyásolja a határértéket.
- Válassza ki a harmadik példát! Ez ugyanaz, mint az első két eset, csak most a függvénynek hiányzik egy pontja. Vajon még mindig igaz-e, hogy a határérték L = 0.5, ha c = 1 ?
Más szóval, f (x) vajon 0.5-hez tart-e, ha x 1-hez tart? Nézzük meg az értéktáblázatot: amint x mindkét irányból 1-hez tart, úgy
a függvényértékek 0.5-hez tartanak. Az a tény, hogy f (c) nincs értelmezve, nem befolyásolja a határértéket.
- Válassza ki a negyedik példát! Ez már egy komplexebb függvény, noha annyiban hasonlít az előzőhöz, hogy ennek is hiányzik egy pontja.
Mi a határérték, ha c = 0 ? Más szóval, milyen értékhez tart f (x), ha x 0-hoz tart? Amint az értéktáblázatból láthatja,
a függvényértékek mindkét irányból 1-hez tartanak.
- Válassza ki az ötödik példát! Ez egy szakadásos függvény. Mi a határérték, ha c = 1? Más szóval, milyen értékhez tart f (x),
ha x 1-hez tart? Figyelje meg, hogy ebben az esetben a táblázat különböző értékeket mutat a jobboldali és a baloldali határértékekre!
Ezért nincs általános határérték a c = 1 helyen.
- Válassza ki a hatodik példát, mely egy függőleges aszimptotájú függvény! Mi a határérték, ha c = 1? Más szóval, milyen értékhez tart f (x),
ha x 1-hez tart? A táblázat azt mutatja, hogy a függvényértékek egyre nagyobbá válnak, ahogy mindkét irányból
az 1-hez közelít, ezért nincsen határérték.
- Válassza ki a hetedik példát, a tekergődző sin(1/x) függvényt! A táblázat azt mutatja, hogy ha 0-hoz közelít, a függvényértékek föl-le ugrándoznak, ezért itt nincs határérték.
Szerző: Thomas S. Downey. Szerzői jog: Creative Commons Attribution 3.0 License.